Linker Teil des Würfelgürtels

• P₁, P₅ sind ortsfest und haben die Koordinaten
  
  $$P_1 = (0, 0, 0) \quad P_5 = (\sqrt{3}, 0, 0)$$
  
  

• Die Strecken $s_1 = \overline{P_1P_2}$, $s_2 = \overline{P_5P_6}$, $s_3 = \overline{P_3P_4}$, $s_4 = \overline{P_7P_8}$ sind die Scharnierkanten des Würfelgürtels und haben jeweils eine Länge von ¹
  
  $$s_1 = s_2 = s_3 = s_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
  
  

• Die Strecken $k_1 =\overline{P_1P_3}$, $k_2 = \overline{P_3P_7}$ und $k_3 = \overline{P_7P_5}$ sind ursprüngliche Würfelkanten und haben daher eine Länge von
  
  k₁ = k₂ = k₃ = 1
  
  

• P₂ bewegt sich in der Diagonalenebene im Abstand von $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um P₁ und hat die Koordinaten
  
  $$P_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\cos{\alpha}, \frac{1}{\sqrt{3}}\sin{\alpha}, 0\right)$$
  
  

• P₆ bewegt sich in der Diagonalenebene im Abstand von $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um P₅ und hat die Koordinaten
  
  $$P_6 = \left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\cos{\beta}, \frac{1}{\sqrt{3}}\sin{\beta}, 0\right)$$
  
  
  wobei $\beta$ aus der Lage von E berechnet werden kann.
  • E hat die Koordinaten
    
    $$E = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha), 0\right)$$
    
    

  • Demnach ergibt sich
    
    $$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$$
    
    

  • Die Strecke $\overline{P_1E}$ hat die Länge
    
    $$\overline{P_1E} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$$
    
    

Zur Berechnung des Punktes P₃ stellt man folgende Überlegung an:

Die bisher betrachteten Punkte P₃ und E, sowie der Einheitskreis um P₁ können als Modell der Spiegelung am Kreis betrachtet werden². Und zwar:

• der Einheitskreis um P₁, an dem die Spiegelung erfolgt
• P₃' (P₃ projeziert in die u/v-Ebene) als Punkt innerhalb des Kreises, der auf
• E, den Punkt außerhalb des Kreises gespiegelt wird. Es gilt die folgende Beziehung:
  
  $$\overline{P_1E} \times \overline{P_1P_3'} = 1 \quad somit \q... ...1E}} = \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\frac{2}{\sqrt{3}}}$$
  
  

  
  

    

  Abbildung 8: Spiegelung am Kreis

  
  
  
• Die soeben berechnete Strecke $p = \overline{P_1P_3'}$ muß noch in die Raumkoordinaten des Punktes P₃ umgerechnet werden. Dies ergibt
  
  $$P_3 = \left(p \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha), p \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha), \sqrt{1 - p^2}\right)$$
  
  

• Der letzte Punkt P₄ liegt auf der Strecke $\overline{P_3E}$ und zwar im Abstand $\frac{1}{\sqrt{3}}$ von P₃ entfernt. Man kann ihn also als Vektorprodukt der beiden Vektoren
  
  $$\overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{P_1P_2} \quad \textrm{und} \quad \overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{P_1P_3}$$
  
  
  auffassen. Die Raumkoordinaten von P₄ sind daher:
  
  $$\overrightarrow{P_4} = \overrightarrow{P_3} + (\overrightarrow{v_1} \times \overrightarrow{v_2})$$